[matplotlib 3D]ローレンツアトラクタ

ローレンツアトラクタ
コード
解説
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1. アニメーション
参考

ローレンツアトラクタ

ローレンツアトラクタは、気象学者エドワード・ローレンツによって1963年に発見された決定論的カオスの代表的な例です。これは単純な非線形微分方程式系から生じる複雑な軌道を示し、初期条件への敏感な依存性（バタフライ効果）を表しています。ここでは、matplotlibのmplot3dによりローレンツアトラクタを3Dグラフ上に表示する方法を説明する。

コード

解説

ローレンツ・アトラクタとは

ローレンツ方程式は、カオス的挙動を示す非線形方程式です。この方程式には3つのパラメータ(σ, ρ, β)があり、これらが特定の値をとるときにローレンツアトラクタが生成されます。[1]

データの生成

def lorenz(x, y, z, s=10, r=28, b=2.667):
    x_dot = s*(y - x)
    y_dot = r*x - y - x*z
    z_dot = x*y - b*z
    return x_dot, y_dot, z_dot

ローレンツアトラクタは、特定のx、y、z座標に対応するx_dot、y_dot、z_dotの変化率を返す関数として定義されます。

xs = np.empty((num_steps + 1,))

np.emptyは初期化されていない配列を生成します。num_stepsが10000の場合、(10001,)の配列が作られます。np.emptyの主な特徴は、他の配列生成関数と比較して実行速度が速いことです。

xs[0], ys[0], zs[0] = (0., 1., 1.05)

各配列の0番目(1番最初)をそれぞれ設定します。

for i in range(num_steps):
    x_dot, y_dot, z_dot = lorenz(xs[i], ys[i], zs[i])
    xs[i + 1] = xs[i] + (x_dot * dt)
    ys[i + 1] = ys[i] + (y_dot * dt)
    zs[i + 1] = zs[i] + (z_dot * dt)

まず、計算の流れを考えてみましょう。i=0の初期状態では、初期値(xs[0], ys[0], zs[0])に対してlorenz関数を適用してxdotを求めます。次のステップxs[1]は、xs[0]に求めたx_dot×dt(=0.01)を加えた値になります。このプロセスをnum_steps（10000回）繰り返すことで、10000個のxs、ys、zsの値を算出します。